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  • 您的位置:互助文档网 > 诗词鉴赏 > 宋代诗词鉴赏 > [基于极限理论的数学分析与极... 正文 2019-11-24 10:14:03

    [基于极限理论的数学分析与极限求解方法] 数学分析极限

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    基于极限理论的数学分析与极限求解方法

    基于极限理论的数学分析与极限求解方法 极限理论是一种近代发展起来的重要数学思想,数学分 析也是以此为基础发展起来的,以极限理论来俺就函数可以 帮助人们解决一些变量和常规数学方式无法解决的问题。本 文从极限理论出发进行分析并通过一些极限求解的具体方 法。用极限解决问题的方式通常是先考察未知量并设法将其 与变量相关联,并确认以无限的过程来得到未知结果。

    摘 要:
    极限理论 数学分析 极限求解 一、极限理论概述 所谓的极限理论是第二次数学危机所推动的一种类似 的微增量类的计算形式,经过一个长期发展过程,数学家达 朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯等人的努力下, 微积分理论的发展得到了极大的丰富。如著名的法国数学家 柯西的研究就从分析基础严密话的工作项前迈进了一个台 阶,在其努力下连续、导数、微分、积分、无穷大极数的和 等建立打下来较为坚实的基础。但是因为当时的情况所限, 实数的严格理论没有最终形成和完善,所以柯西的极限理论 还不能得到最终完善。可以之后的一些数学家如:维尔斯特 拉斯、戴德金等都经过自身的努力在各自的领域上进行了深 入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并与70年代各自 建立了完整的实数体系,因此在极限理论上,柯西所开辟的 道路上完善起来的。而数学分析的无矛盾性问题也被归结实数论的无无矛盾性,从而使得微积分学也获得了较为牢固的 理论基础。

    二、极限理论对数学分析的影响 极限的思路与方法始终影响着数学分析课题的始终,可 以说数学分析中的所有概念都与极限息息相关。在几乎说有 的数学著作汇总都是以函数理论和极限思想为思路和方法, 然后利用极限理论对给出的连续函数、导数、定积分、级数 的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分、 曲线积分、曲面积分的概念。极限思想的方法是数学分析乃 高等数学中不可或缺的方法,也是数学分析与初等数学概念 的最本质差异。数学分析之所以能够解决许多初等数学无法 解决的难题,如:瞬时速度、曲线弧长、曲面体积等,这是 因为有极限的思路方法,利用此方法对变量和常量、有限与 无限之间的对立统一关系,是一种辩证的思路在数学中的体 现,即对立统一的思想应用早数学分析当中。极限理论在现 代数学和物理学的研究中得到了广泛的应用,这是因为其本 身的思维方式来决定的。借助极限的思路人们可以从无限的 角度看待不变和变的关系,从直线的规律认识曲线的规律, 从量变到质变,进而利用近似的思路来达到准确。无限与有 限的本质是不同的但是二者联系密切,无限是有限的拓展。

    无限个数目的和不是通常所理解的代数意义上的和,将其定 义为部分和的极限,就是一种借助极限的思路,从而利用有 限认识无限变与不变,也反映了事物运动变化与相对静止的两种状态,但是这些方法在一定的条件下是可以相互转换的, 此种转化是数学科学发展的重要动力之一。如:在变速直线 运动的瞬时速度求解的时候,速度对于计算是变量,为此应 先缩小范围,将变速近似定义为匀速,并求出平均速度,将 瞬时速度定义为平均速度的极限速度,这就是一种借助极限 思路,将不变代替变来分析。曲线形与直线形有本质上的差 异,但是在一定的条件下二者可以实现转化,将这种对立关 系统一起来就成为重要的分析手段。直线形的面积容易求解 要求的曲面线形面积,仅仅依靠初等数学的方法就很困难了。

    利用圆内接多边形的近似圆形而求的面积,通常是利用小矩 形的面积和逼近曲边梯形的面积也是一种极限思路,从直线 形认识曲线。质和量的相互转化规律是辩证的基本规律,在 研究数学问题的时候也可以帮助解决难题。

    三、求解极限的具体方法分析 1、极限内涵和判断准则 极限的内涵可以利用公式进行描述,即ε>0;an-a<ε, 以此来描述数列{an}在变化的过程中所定义的是a近似的程 度。即在{an}在变化的过程中an与a可以任意的接近,且可 以要多接近就多接近,这也是极限的思路之一。

    上式表示的是an和a的绝对值之间的差值小于ε,且不 是任何一项an都有这个性质,而是在某一个时刻后,即n>N 的时候才能体现出来。用纯粹的数学方式表达即为下式:极限存在的辨识方法:极限存在左右极限存在且体现相 等;
    符合夹逼定理;
    符合连续定理(单调有界数列必有极 限);
    符合柯西准则。

    四、极限求解的方法 1、迫敛性求解 求解的要点是,当极限不容易直接求出解的时候,就可 以考虑将求解极限的变量做适当的放大或者缩小,使得放大、 缩小所得的自变量易于求解极限,且二者的极限值相同,即 原极限存在且等于此公共值。

    2、洛必达法则 型不定式极限常用的方式就是洛必达法则,有时还需要 利用推广的洛必达法则进行求解。即将x→a换成x→a+0或x →a-0也可以适应洛必达法则。应用洛必达法则的时候应注 意一下几点:要验证应用洛必达法则的条件应对极限进行分 析确定其类型,然后才能继续使用洛必达法则,主要符合这 个条件就可以利用法则求解极限;
    另外,其他类型的不定式 也可以对其进行转化形成特定的形式然后利用法则对其进 行求解。

    3、等价无穷小量 思路是利用一些常见的等价的无穷小变量,就可以对极 限进行求解,如:g(x)=x2(x→0)、arctanx~x(x→0)、 1-cos~12x2(x→0)等形式。此时应注意:在利用等价无穷小 的变量代换求解极限的时候,应注意只有对所求极限式中相乘或者相除的因式才能用等价无穷小量来代替,此时对极限 中的相加或者相减的部分不能随意替代。

    4、泰勒展式 一些初级函数的麦克劳林公式可以用来求解某种类型 的极限,如:ex、sinx、cosx、ln(1+x)等等。需要注意的 是根据题目给出的条件,将所给出的函数进行展开才能获得 较好的效果。

    5、定积分求解 分析求解的要点,利用定积分的定义来求解极限,公式 如下:
    当然也需要利用积分中的值定理对极限求解,如求极 限:
    由积分中值定理:
    得出的结果是:
    因此在应用的过程中应灵活的应用来求解。另外,还可 以利用极限的定义和柯西准则、两个重要的极限、单调有界 准则、函数的连续性、导数的定义、微分中值定理等求得极 限的解。

    6、递推形式求解 利用存在性求解,其中要点在若果用某种方法证明了递推序列的极限存在,则在递推公式力获解极限,也就可以得 到相应的极限值。证明序列的极限存在经常涉及的有两种方 法:一是,利用单调有界定理;
    一是利用压缩映射原理进行 求解。

    五、结束语 极限理论是数学分析的基础,数学分析主要研究的是 微分和积分,而极限是一种思维方式更是对微积分求解的重 要基础,也就是说若果没有充分的极限理论作为分析方向就 不会为数学分析提供必要的基础。当今数学分析已经成为了 一个重要的数学分析,对整个数学研究的发展起到了推动的 作用。

    参考文献:
    [1]魏少华,蒋晨宏,李敏.求极限的各种方法总结及推 广[J].现代交际, 2010,(06) . [2]杨丽星.试论数学分析中极限的化归转化思想方法 [J].科技信息,2010,(12) . [3]韩冰.谈在高等数学中极限的各种算法[J].大众商 务,2009,(22) .

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